Le tre leggi del cubo magico
Ogni pezzo può subire movimenti di due tipi; le rotazioni (su sé stesso) e le permutazioni, ossia gli spostamenti in un'altra posizione; è importante osservare che questi due tipi di movimenti sono completamente indipendenti; cioé, se pure esistono evidentemente formule che agiscano contemporaneamente su orientamento e posizionamento di un pezzo, pure i movimenti di tali pezzi dovranno rispondere a leggi che agiscono separatamente su orientameno e spostamento; una diretta conseguenza di ciò è che le risoluzioni sono solitamente suddivise in diversi passi che riguardano separatamente l'orientamento e la permutazione dei pezzi.Le leggi del cubo esprimono il fatto che i pezzi del cubo non possono rimescolarsi in qualunque modo!
Orientamento: cambiando l'orientamento di un pezzo la fisica del cubo impone che altri pezzi cambieranno in conseguenza il loro orientamento, in modo che lo spin complessivo sia 0.
Permutazione: cambiando la posizione di un pezzo anche la posizione di altri pezzi dovrà evidentemente cambiare per effetto dei vincoli fisici tra i vari pezzi.
Tali vincoli sono descritti da tre leggi, espresse nel seguito.
Definizione: Spin
Consideriamo gli orientamenti che può avere un pezzo che si trova nella sua giusta posizione:
Lo spin di un pezzo rappresenta l'orientamento di quel pezzo ossia il modo in cui quel pezzo può ruotare restando nella medesima posizione.
Ad un pezzo situato nella sua posizione finale corretta (spigolo o angolo) orientato correttamente viene assegnato spin 0.
Un angolo (tre faccette) situato nella sua posizione finale corretta con rotazione o orientamento corretto avrà spin 0 mentre con orientamento sbagliato gli viene assegnato spin 1/3 o -1/3 a seconda che sia girato di +1/3 (ruotato in senso orario) o di -1/3 (ruotato in senso anti orario) rispetto all'orientamento corretto;
in luogo di +1/3 si può utilizzare -2/3; in luogo di -1/3 si può utilizzare +2/3.
Uno spigolo (due faccette) messo nella sua corretta posizione finale potrà avere il giusto orientamento (giusta rotazione) (fatto espresso dicendo che ha spin 0) oppure potrà essere ribaltato (ossia con orientamento sbagliato rispetto alle sue corrispondenti faccette centrali) (avrà cioé spin +1/2 = -1/2); la scelta del segno è completamente arbitraria; infatti i conti si fanno modulo 1, cioé dire 0 o 1 o 7 o -3 o un qualunque altro intero con segno è lo stesso ai fini del valore dello spin complessivo.
Per una data configurazione del cubo per spin complessivo degli angoli si intende la somma algebrica (con segno) degli spin di tutti gli angoli.
Per una data configurazione del cubo per spin complessivo degli spigoli si intende la somma algebrica (con segno) degli spin di tutti gli spigoli.
É interessante osservare che le regole algebriche cui obbediscono gli spin dei pezzi del cubo ricordano molto alcune leggi che regolano il comportamento delle particelle elementari Quark.
L'orientamento dei pezzi è evidente quando questi sono nelle loro posizioni finali; in talune situazioni è tuttavia ancora possibile definire in modo semplice l'orientamento dei pezzi anche qualora essi non siano nelle loro posizioni finali.
Legge sull'orientamento dei pezzi
- Un angolo può avere rotazione (o orientamento o spin) 0 o +1/3 o -1/3 = 2/3 e le rotazioni complessive si considerano modulo 1
Gli angoli possono ruotare sul posto (orientarsi) solo in modo che complessivamente la somma algebrica (somma col segno) dei loro spin sia 0 modulo 1 ovvero solo in modo che la somma dei loro spin sia 0 o un numero intero negativo o positivo
quindi se un angolo ha una rotazione +1/3 esisteranno o altri due angoli con spin +1/3 oppure un altro angolo con spin -1/3
- Gli spigoli possono avere spin 0 o +1/2 = -1/2
Gli spigoli possono ruotare sul posto (orientarsi), cioè ribaltarsi, solo in modo che il loro spin complessivo sia 0 modulo 1 cioè 0 o un intero con segno
Quindi se uno spigolo ha spin +1/2 ne esisterà senz'altro un altro con spin +1/2
Queste le possibili configurazioni elementari (atomiche) (minimali) per gli orientamenti di spigoli ed angoli:
Legge sullo scambio tra i pezzi
Quando si effettuano degli scambi tra i pezzi, questi obbediscono alla seguente legge:- Si possono scambiare tra loro due coppie di pezzi.
cioè si possono scambiare:
- 2 coppie di angoli
- 2 coppie di spigoli
- 1 coppia di angoli ed 1 coppia di spigoli
Queste tutte le possibili configurazioni con scambio di due coppie di pezzi:
Legge sulla mutua rotazione tra i pezzi (permutazione dei pezzi)
- Possono scambiarsi di posizione (permutare) 3 angoli effettuando una rotazione tra le loro mutue posizioni
- Possono scambiarsi di posizione (permutare) 3 spigoli effettuando una rotazione tra le loro mutue posizioni
Tutte le possibili configurazioni con permutazione di tre pezzi:
Generalizzando la legge sullo scambio tra i pezzi e la legge sulla permutazione dei pezzi si può affermare che:
Possono permutare tra loro un numero dispari di pezzi (angoli o spigoli).
Se uno dei due tipi di pezzi presenta una permutazione tra un numero pari di pezzi allora anche l'altro tipo di pezzi presenterà una permutazione su un numero pari di pezzi (lo scambio tra due pezzi è evidentemente la più semplice permutazione su un numero pari di pezzi).
Una qualunque permutazione pari su un tipo di pezzi porta sull'altro tipo di pezzi ad un'altra permutazione pari.
Ecco tutte le possibili configurazioni che si possono presentare su una faccia del cubo:
Queste appena descritte sono delle Leggi o Assiomi, descritte in termini semplici ed intuitivi ma di cui sarebbe possibile formulare una descrizione formale tramite l'algebra astratta.
Le leggi fisico-matematiche vengono accettate come un dato di fatto.
Non esistono dimostrazioni matematiche per una legge ma al più dei tentativi di giustificazione di questa.
Una legge fisico-matematica è una descrizione formale di una realtà fisica che si dimostri empiricamente rilevabile (cioé una realtà fisica rilevabile da più individui in tempi e luoghi diversi).
Tali leggi descrivono i vincoli fisici cui sono assoggettati i pezzi nei loro spostamenti quando si applicano delle mosse; sono, per così dire, i movimenti atomici dei pezzi del cubo, nel senso che spostare o ruotare un minor numero di pezzi non è possibile, e una qualunque sequenza di mosse (e quindi anche tutte le formule risolutive, anche quelle sconosciute se esistono) porta ad una configurazione che può anche essere ottenuta utilizzando una concatenazione dei soli movimenti atomici; ovvero una qualunque configurazione ammissibile può essere ottenuta a partire da una data configurazione iniziale utilizzando una qualche sequenza di sole mosse atomiche.
Queste leggi portano all'esistenza di 12 Universi paralleli tra loro mutuamente disgiunti di possibili insiemi di configurazioni.
Infatti si hanno 2 universi distinti considerando la possibilità di ribaltare un qualunque spigolo, 3 universi distinti per la rotazione di un qualunque angolo e 2 universi per uno scambio di una coppia (di spigoli o di angoli), da cui con semplici nozioni di calcolo combinatorio si ottiene un totale di 3*2*2 = 12 Universi distinti.
Uno di questi universi è quello in cui è possibile giungere alla configurazione con tutti i pezzi al loro posto, la configurazione del cubo terminato; gli altri undici universi si possono raggiungere solo smontando qualche pezzo del cubo e rimontandolo con posizione od orientamento sbagliati.
Per questo se si smonta il cubo bisogna fare attenzione a rimontarlo correttamente altrimenti non sarà possibile risolverlo!